نقطه تکین

یک نقطه تکین (به انگلیسی: singular point) در ریاضیات نقطه‌ای‌ست که یک عنصر ریاضی در آن تعریف نشده باشد، یا تابع به نوعی در آن خوشرفتار نباشد، مثلاً مشتق‌پذیر یا تحلیلی نباشد.

برای مثال تابع

$f(x)={\frac {1}{x}}$

روی محور حقیقی یک نقطهٔ تکین در x = 0 دارد، جایی که تابع به ±∞ «منفجر می‌شود» و تعریف نشده‌است. تابع g(x) = |x| نیز یک تکین در x = 0 دارد، زیرا آنجا مشتق‌پذیر نیست. به‌طور مشابه نمودار تعریف شده با y² = x نیز یک تکین در x = 0 دارد، این دفعه به خاطر اینکه یک نقطه انشعاب در این نقطه دارد. مجموعه جبری تعریف شده با y² = x² در سیستم مختصات (x, y) یک نقطه تکین در (0,0) دارد زیرا در این نقطه هیچ مماسی ندارد.

آنالیز مختلط

در آنالیز مختلط، چهار نوع نقطهٔ تکین وجود دارد که در زیر تشریح شده‌است. فرض کنید U یک زیر مجموعه باز از اعداد مختلط C، a یک عضو از U، و f یک تابع هولومورفیک تعریف شده بر U \ {a}.

• نقطه a یک نقطه تکین برداشتنی از f‌ است اگر تابع هولومورفیک g تعریف شده بر تمام U وجود داشته باشد که f(z) = g(z) برای هر z در U \ {a}.
• نقطه a یک قطب از f است اگر تابع هولومورفیک g تعریف شده بر U و عدد طبیعی n وجود داشته باشد که f(z) = g(z) / (z − a)ⁿ برای هر z در U \ {a}.
• نقطه a یک نقطه تکین اساسی از f است اگر نه تکین برداشتنی باشد و نه قطب. نقطه a یک نقطه تکین اساسی است اگر و تنها اگر سری لوران f در نقطهٔ a تعداد بینهایت جملهٔ با درجهٔ منفی داشته باشد.
• یک نقطه انشعاب عموماً در نتیجهٔ تعریف یک تابع چند مقداره (مانند ${\sqrt {z}}$ یا $\log(z)$) در یک دامنهٔ محدود به وجود می‌آید که در نتیجه تابع در این دامنه تک مقداره می‌شود.

جستارهای وابسته

• قطب (آنالیز مختلط)
• نقطه تکین اساسی
• نقطه تکین برداشتنی
• نقطه تکین منفرد

منابع

• شهشانی، سیاوش. حساب دیفرانسیل و انتگرال جلد دوم.