قضیه وینر-خینشین

در پردازش سیگنال، قضیه وینر-خینشین (که گاهی قضیه وینر-خینشین-اینشتین یا قضیه خینشین-کولموگروف خوانده می‌شود)، بیان می‌کند که خودهمبستگی یک فرایند ایستا در معنای وسیع دارای طیفی برابر با چگالی طیفی توان آن فرایند است.

پیشینه

این قضیه را اولین بار نوربرت وینر در سال ۱۹۳۰ منتشر کرد، و الکساندر خینشین به طور مستقل در سال ۱۹۳۴ آن را کشف و منتشر نمود. گفته می‌شود که آلبرت اینشتین این ایده را در یک نوشته مختصر در سال ۱۹۱۴ پیش بینی کرده بود.

برای فرایندهای پیوسته

برای فرایندهای پیوسته این قضیه بیان می‌کند که اگر $x$ یک فرایند ایستا در معنای وسیع باشد، به طوری که خودهمبستگی آن که بر حسب امید ریاضی آن به صورت زیر تعریف شده‌است:

$r_{xx}(\tau )=\operatorname {E} {\big [}\,x(t)x^{*}(t-\tau )\,{\big ]}\$

وجود داشته و به ازای هر مقدار $\tau$ متناهی باشد، آنگاه یک تابع یک‌نوای $F(f)$ برای بسامدهای $-\infty <f<\infty$ وجود دارد به طوری که:

$r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}dF(f)$

که در آن انتگرال از نوع انتگرال استیلتیس است.

برای فرایندهای گسسته زمان

برای فرایندهای گسسته زمان، چگالی طیف توان تابع $x[n]\,$ برابر است با

$S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}[k]e^{-i(2\pi f)k}$

که در آن

$r_{xx}[k]=\operatorname {E} {\big [}\,x[n]x^{*}[n-k]\,{\big ]}\$

همان تابع گسسته خودهمبستگی $x[n]\,$ - به شرط مطلقاً انتگرال پذیر بودن $x$ - است.

کاربردها

این قضیه برای بررسی سامانه‌های خطی تغییرناپذیر با زمان هنگام اعمال سیگنال‌هایی که تبدیل فوریه ندارند کاربرد دارد.

جستارهای وابسته

• تبدیل فوریه
• سامانه خطی تغییرناپذیر با زمان