رسته (ریاضیات)

یک رسته در ریاضیات، ساختاری جبری است که در آن سازه‌های ریاضی و روابط میان آن‌ها به صورت مجرد بررسی می‌شود. در یک رده، سازه‌ها یا اشیاء و پیکان‌های میان آن‌ها مستقل از اینکه اشیاء چه هستند مورد بررسی قرار می‌گیرد.

تعریف

یک رده $C$ عبارت است از:

• یک کلاس $Ob(C)$ از اشیا یا سازه‌ها،
• یک کلاس $hom(C)$ یا $mor(C)$ از پیکانها یا ریختارها (یا مورفیسم‌ها). یک عضو $f\in hom(C)$ عبارت است از یک پیکان $f:a\to b$ برای دو سازه $a,b\in Ob(C)$. نویسه $hom(a,b)$ نمایانگر کلاس پیکان‌های میان دو شیء $a$ و $b$ است.
• یک عمل دوتایی $\circ$ روی $hom(C)$ که به آن ترکیب می‌گوییم. به گونه‌ای که برای هر سه سازه

$a,b,c\in Ob(C)$ داریم $\circ :hom(b,c)\times hom(a,b)\to hom(a,c)$ و این عمل خواص زیر را دارد:

۱. شرکت پذیری: اگر $g:b\to c$،$f:a\to b$ و $h:c\to d$ آنگاه: $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

۲. همانی: برای هر $x\in Ob(C)$، یک پیکان $1_{x}:x\to x$ به نام ریختار همانی موجود است که: برای هر ریختار $f:a\to b$ داریم: $1_{b}\circ f=f=f\circ 1_{a}$.

برای آسانی در نوشتار معمولاً نویسه $f\circ g$ را به صورت $fg$ خلاصه می‌کنیم.

نمونه‌ها

• رده $Set$ که سازه‌های آن مجموعه‌ها و پیکانهای آن تابع‌های میان مجموعه‌ها هستند. به زبان دیگر: $S\in Set$ یک مجموعه و $f\in hom(S,T)$ یک تابع از مجموعه $S$ به مجموعه $T$ است.
• رده $Gr$ که سازه‌ها یا اشیاء آن گروه‌ها و پیکانهای یا ریختارهای آن همریختی‌های گروهی هستند. به زبان دیگر: $G\in Gr$ یک گروه و $f\in hom(G,H)$ یک همریختی گروهی $f:G\to H$ است.
• رده $Ring$ که سازه‌ها یا اشیاء آن حلقه‌ها و پیکانهای یا ریختارهای آن همریختی‌های حلقه‌ای هستند. به زبان دیگر: $R\in Ring$ یک حلقه و $f\in hom(R,S)$ یک همریختی حلقه‌ای $f:R\to S$ است.
• رده $Top$ که سازه‌های آن فضاهای توپولوژیک و پیکانها، تابع‌های پیوسته میان فضاهای توپولوژیک هستند.

گونه‌های ریختارها

یک ریختار (یا پیکان) $f:a\to b$ را:

• یک به یک گوییم اگر از $fg_{1}=fg_{2}$ برای همه ریختارهای $g_{1},g_{2}:x\to a$ نتیجه شود: $g_{1}=g_{2}$.
• پوشا گوییم اگر از $g_{1}f=g_{2}f$ برای همه ریختارهای $g_{1},g_{2}:b\to x$ نتیجه شود: $g_{1}=g_{2}$.
• دوسو گوییم اگر یک به یک و پوشا باشد.
• یکریختی گوییم اگر دارای وارون باشد یعنی یک ریختار $g:b\to a$ وجود داشته باشد که:

$fg=1_{b}$ و $gf=1_{a}$.

جستارهای وابسته

• عملگر

منابع

• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.), Springer-Verlag,
• J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories. The Joy of Cats. John Wiley, 1990.