از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
تابع جرم احتمال ![Probability mass function for the beta-binomial distribution](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Beta-binomial_distribution_pmf.png/325px-Beta-binomial_distribution_pmf.png) |
تابع توزیع تجمعی ![Cumulative probability distribution function for the beta-binomial distribution](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Beta-binomial_cdf.png/325px-Beta-binomial_cdf.png) |
پارامترها |
n ∈ عدد طبیعی — number of trials
(عدد حقیقی)
(عدد حقیقی) |
---|
تکیهگاه |
k ∈ { 0, …, n } |
---|
تابع جرم احتمال |
![{\displaystyle {n \choose k}{\frac {\mathrm {B} (k+\alpha ,n-k+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be8cfdc88df5160a8e4cbfc5ed8880c379ab54d) |
---|
تابع توزیع تجمعی |
![{\displaystyle 1-{\tfrac {\mathrm {B} (\beta +n-k-1,\alpha +k+1)_{3}F_{2}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}};k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )\mathrm {B} (n-k,k+2)(n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35cfefaed478b4cace4e9182a8f8497d5ed3d27)
where 3F2(a,b,k) is the generalized hypergeometric function =3F2(1, α + k + 1, −n + k + 1; k + 2, −β − n + k + 2; 1) |
---|
میانگین |
![{\displaystyle {\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727739d4514fb008f635141c9f5676463f9c151b) |
---|
واریانس |
![{\displaystyle {\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a27af72b63cbefb0144249ad9c8df6aa359d7c) |
---|
چولگی |
![{\displaystyle {\tfrac {(\alpha +\beta +2n)(\beta -\alpha )}{(\alpha +\beta +2)}}{\sqrt {\tfrac {1+\alpha +\beta }{n\alpha \beta (n+\alpha +\beta )}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8577da0d51b8f92bbf1ef9b6e2729bab978bbb) |
---|
کشیدگی |
See text |
---|
تابع مولد گشتاور |
![{\displaystyle _{2}F_{1}(-n,\alpha ;\alpha +\beta ;1-e^{t})\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8634a027a1418bb18eb4555df8f390c84529d8)
![{\displaystyle {\text{for }}t<\log _{e}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f863482968531ae58c9a480c71bba7bc967c7c5) |
---|
تابع مشخصه |
![{\displaystyle _{2}F_{1}(-n,\alpha ;\alpha +\beta ;1-e^{it})\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e166eb2a9882cf281419d9904fdbdd21288d8ee3)
![{\displaystyle {\text{for }}|t|<\log _{e}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b1a42b627e006c257336b1eab328df07a4b745) |
---|
شکل ۱: چگالی احتمال.
شکل ۲: توزیع تجمعی.
توزیع بتا-دوجملهای (انگلیسی: Beta-binomial distribution)
میتوان تصور کرد که پارامتر
در این توزیع از یک توزیع بتا بدست آمدهاست.
![{\displaystyle {\begin{aligned}L(k|n,p)&=\operatorname {Bin} (n,p)\\&={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d82ab1722f951ffd3bcb765924a802b25ee39d)
که خود توزیع بتا دارای فرمول زیر است:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pi (p|\alpha ,\beta )&=\mathrm {Beta} (\alpha ,\beta )\\&={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00592efe0dc4a4c6f8f1ae39ff72fd085484abf7)
حال میتوان توزیع کلی را به صورت زیر نوشت:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(k|n,\alpha ,\beta )&=\int _{0}^{1}L(k|p)\pi (p|\alpha ,\beta )\,dp\\&={n \choose k}{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}p^{k+\alpha -1}(1-p)^{n-k+\beta -1}\,dp\\&={n \choose k}{\frac {\mathrm {B} (k+\alpha ,n-k+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e27e4625ef4c4069c82ef803704ab50a00ae7b)
با استفاده از ویژگیهای تابع بتا میتوان رابطهٔ فوق را به صورت زیر ساده کرد:
![{\displaystyle f(k|n,\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (k+1)\Gamma (n-k+1)}}{\frac {\Gamma (k+\alpha )\Gamma (n-k+\beta )}{\Gamma (n+\alpha +\beta )}}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f48d32582a75dfa67e10cee0ccb79d604e604a)
توزیعهای مرتبط[ویرایش]
که در آن
توزیع یکنواخت گسسته است.
جستارهای وابسته[ویرایش]
* Minka, Thomas P. (2003). Estimating a Dirichlet distribution. Microsoft Technical Report.
پیوند به بیرون[ویرایش]