اجتماع مجزا اجتماع مجزا (به انگلیسی : disjoint union اجتماع متمایز (به انگلیسی : discriminated union ریاضیات ، برای یک خانواده از
(
A
i
:
i
∈
I
)
{\displaystyle (A_{i}:i\in I)}
A
{\displaystyle A}
⨆
i
∈
I
A
i
,
{\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}
تابع یک‌به‌یک برای هر
A
i
{\displaystyle A_{i}}
A
{\displaystyle A}
افراز از
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
مجموعه‌های دوبه‌دو مجزا برابر اجتماع شان است. به زبان نظریه رسته‌ها ، اجتماع مجزا برابر هم‌ضرب یا coproduct از رسته مجموعه‌ها است. از این رو اجتماع مجزا تاحدودی به صورت برابر با یک تناظر‌دوسویه تعریف شده است.
یک روش استاندارد برای ساخت اجتماع مجزا آن است که
A
{\displaystyle A}
زوج‌های مرتب
(
x
,
i
)
{\displaystyle (x,i)}
x
∈
A
i
,
{\displaystyle x\in A_{i},}
A
i
→
A
{\displaystyle A_{i}\to A}
x
↦
(
x
,
i
)
{\displaystyle x\mapsto (x,i)}
مجموعه‌های
A
0
=
{
5
,
6
,
7
}
{\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}
A
1
=
{
5
,
6
}
{\displaystyle A_{1}=\{5,6\}}
A
0
∗
=
{
(
5
,
0
)
,
(
6
,
0
)
,
(
7
,
0
)
}
A
1
∗
=
{
(
5
,
1
)
,
(
6
,
1
)
}
,
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}}
0
{\displaystyle 0}
(
5
,
0
)
{\displaystyle (5,0)}
A
0
,
{\displaystyle A_{0},}
A
0
⊔
A
1
{\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}
A
0
⊔
A
1
=
A
0
∗
∪
A
1
∗
=
{
(
5
,
0
)
,
(
6
,
0
)
,
(
7
,
0
)
,
(
5
,
1
)
,
(
6
,
1
)
}
.
{\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.}
دلیل وجود دو تعریف، مربوط به جمع مستقیم داخلی و خارجی است.
[ ویرایش ] یک مجموعه
X
{\displaystyle X}
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}
زیرمجموعه‌های
X
i
⊆
X
{\displaystyle X_{i}\subseteq X}
X
=
⋃
i
∈
I
˙
X
i
,
{\displaystyle X={\dot {\bigcup _{i\in I}}}X_{i},}
وقتی شرایط زیر برقرار باشد:
X
i
∩
X
j
=
∅
,
{\displaystyle X_{i}\cap X_{j}=\varnothing ,}
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
زوج مجزا هستند.
X
=
⋃
i
∈
I
X
i
{\displaystyle \textstyle X=\bigcup \limits _{i\in I}X_{i}}
X
{\displaystyle X}
اجتماع مجموعه‌های
X
i
{\displaystyle X_{i}}
[ ویرایش ] مجموعه‌های
X
i
{\displaystyle X_{i}}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
⨆
i
∈
I
X
i
=
⋃
i
∈
I
{
(
i
,
x
)
∣
x
∈
X
i
}
{\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}X_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(i,x)\mid x\in X_{i}\}}
اجتماع مجموعه‌های مجزای
X
i
{\displaystyle X_{i}}
اجتماع مجزای
A
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\}}
B
=
{
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle B=\{4,5,6\}}
A
∩
B
=
∅
{\displaystyle A\cap B=\varnothing }
A
∪
˙
B
=
C
{\displaystyle A\;{\dot {\cup }}\;B=C}
C
{\displaystyle C}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle C=\{1,2,3,4,5,6\}}
در اینجا مجموعه‌های
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
افرازی از مجموعهٔ
C
{\displaystyle C}
اجتماع مجزای مجموعه‌های
X
1
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle X_{1}=\{1,2,3\}}
X
2
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle X_{2}=\{1,2,3,4\}}
I
=
{
1
,
2
}
{\displaystyle I=\{1,2\}}
⨆
i
∈
I
X
i
=
⋃
i
∈
I
{
(
i
,
x
)
∣
x
∈
X
i
}
=
{
(
1
,
1
)
,
(
1
,
2
)
,
(
1
,
3
)
,
(
2
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
2
,
3
)
,
(
2
,
4
)
}
{\displaystyle \textstyle \bigsqcup \limits _{i\in I}X_{i}=\bigcup \limits _{i\in I}\{(i,x)\mid x\in X_{i}\}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\}}
مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Disjunkte Vereinigung دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی
